Научно-производственная фирма "ИМКАС"

4.2 Модифицированная методика

Приближенная математическая модель В.В.Кузнецова расчета течения в полости глушителя [239] в случае одиночного выстрела и при стрельбе очередями учитывает в одномерном приближении влияние волновых эффектов на газодинамические параметры рабочего тела и кинематические характеристики снаряда. Недостатком этой модели является то, что она не учитывает поперечную неравномерность потока в центральной камере расширения и в снарядном канале, что сказывается на точности определения влияния волновой структуры газового потока на уровень звука выстрела.

В модифицированной методике [244] рассматривается движение снаряда в центральном (снарядном) канале глушителя с отверстиями, отводящими газ в камеры. Основными узлами глушителя после канала ствола 1 являются: центральная камера расширения 2, центральный (снарядный) канал 3, расширительные камеры 4, соединенные отверстиями со снарядным каналом, снаряд 5 (рис. 4.8). Движение снаряда осуществляется под действием давления пороховых газов, создаваемого в результате сгорания пороха в малом объеме камеры сгорания. При движении снаряда в снарядном канале 3 происходит отток пороховых газов из канала 3 в камеры 4. Между камерами газ перетекает через отверстия в разделяющих камеры 4 диафрагмах. После выхода снаряда 5 из снарядного канала 3 движение газа в нём продолжается за счет массообмена с расширительными камерами 4 и окружающей средой.

Рис. 4.8. Конструктивная схема глушителя с расширительными камерами

Начальный момент времени рассматриваемого нестационарного процесса соответствует моменту входа снаряда в канал ствола. В этот момент полагаются известными температура T0, давление p0 и теплофизические характеристики газовой смеси продуктов сгорания пороха в стволе. При этом полагается, что каналы ствола, снарядный канал глушителя, центральная камера 2 и расширительные камеры 4, отделяемые от рабочей полости ствола снарядом, заполнены покоящимся воздухом при температуре T и давлении p окружающей среды.

В следующий момент времени снаряд 5 начинает движение вдоль канала ствола 1 под действием равнодействующей сил давления, приложенной к его центру масс. Полагается, что в момент входа снаряда 5 в центральную камеру расширения 2 параметры газового потока и скорость движения снаряда известны.

Определяются параметры газа в центральной камере расширения 2, снарядном канале 3, расширительных камерах 4, а также кинематические характеристики снаряда при его движении в снарядном канале, как при одиночном выстреле, так и при стрельбе очередями.

Математическая модель основана на следующих посылках:

  • воспламенение и сгорание пороха в камере сгорания происходит мгновенно;
  • характеристики рабочего тела (пороховых газов) подчиняются уравнению состояния, записанному в квазисовершенной форме;
  • движением газа в расширительных камерах пренебрегается;
  • при движении снаряда в канале ствола или в снарядном канале глушителя перетекание газа через зазор между стенками каналов и снарядом из области повышенного давления за снарядом в область пониженного давления перед ним не учитывается;
  • установка снаряда в начальное положение при втором и последующих выстрелах происходит мгновенно и не влияет на поле параметров;
  • изменение среднеобъемных параметров газа в каждой из расширительных камер во времени описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы и энергии;
  • течение в канале ствола, центральной камере расширения и снарядном канале глушителя полагается двумерным и описывается системой нестационарных двумерных уравнений газовой динамики с учетом обмена между расширительными камерами и снарядным каналом массой, энергией и количеством движения;
  • движение снаряда в канале ствола, центральной камере расширения и в снарядном канале глушителя описывается уравнениями движения материальной точки.

Для описания течения в глушителе введена цилиндрическая система координат x, r, φ. Продольная ось 0x направлена по оси симметрии глушителя. Начало координат помещено в точку пересечения оси симметрии с плоскостью, соответствующей конечному поперечному сечению канала ствола. Расчетная область (в меридиональном сечении полости глушителя), в которой необходимо определить параметры течения, схематично показана на рис. 4.9. Она включает канал ствола 1, центральную камеру расширения 2, снарядный канал 3 со щелевыми отверстиями C1D1C2D2, C3D3, ... . Расчетная область ограничена слева сечением входа AA', совпадающим с начальным сечением канала ствола, справа – сечением выхода BB', совпадающим с конечным сечением снарядного канала. В рассматриваемой области движется снаряд. На рис. 4.9 условно показано положение снаряда в текущий момент времени t , а также в некоторые предыдущий и последующий моменты времени.

Рис. 4.9. Расчетная область полости глушителя

Исходная система уравнений в дивергентной форме и цилиндрических координатах имеет вид:

 (11)

где  – векторы-столбцы;
ρ, uν, P, e – плотность, компоненты скорости, давление и удельная внутренняя энергия рабочего тела, соответственно;
 – полная энергия газа в единице объема;

;
– полная энтальпия единицы массы рабочего тела;
h – удельная статическая энтальпия.

Система уравнений (11) дополняется уравнением состояния, записанным в «квазисовершенном» виде [240]:

 (12)

где  – коэффициент, учитывающий отклонение свойств газа (рабочего тела) от совершенного газа; 

γ* – эффективный показатель адиабаты.

Система уравнений (11), (12) замыкается уравнением движения снаряда как материальной точки под действием силы ΔP, обусловленной перепадом давления на его левом и правом торцах:

 (13)

где  – скорость движения снаряда;
m – масса снаряда.

Для расчета течения в канале ствола, в центральной камере расширения и в снарядном канале глушителя при выстреле (одиночном или очередями) система уравнений (11-13) интегрируется по времени.

На входной границе AA' расчетной области задаются параметры потока в камере сгорания. На выходной границе BB' в зоне дозвукового течения полагается известным статическое давление, равное давлению в окружающей среде, а в зоне сверхзвукового течения граничные условия не ставятся. На непроницаемых границах (стенках каналов и поверхности снаряда) ставится условие непротекания:

V·n=0 (14)

где V=(u, v) - вектор скорости течения рабочего тела;
n=(nx,nr– единичный вектор внешней нормали к поверхности в рассматриваемой точке.

На проницаемых участках границы снарядного канала C1D1, C2D2C3D3, ..., соответствующих неперекрытым при движении снаряда отверстиям, соединяющим расширительные камеры со снарядным каналом, задаются потоки массы, импульса и энергии. Эти потоки определяются по значениям соответствующих параметров в областях, из которых осуществляется отвод газа. Направление движения газа через текущее отверстие i-й расширительной камеры определяется соотношением между статическими давлениями в этой камере и в текущем сечении на границе снарядного канала.

В момент времени t=0 снаряд расположен на выходе из канала ствола и его правый срез совпадает с конечным сечением канала ствола. В расчетной области, расположенной слева от снаряда, поток полагается равномерным в радиальном направлении, и его параметры в текущем сечении определяются по изоэнтропическим соотношениям. Для скорости выбрана линейная зависимость от координаты текущего поперечного сечения. Скорость газа на входе в канал ствола полагается равной нулю, на выходе из него скорость газа равна u0 и соответствует скорости движения снаряда up0 в сечении x=0. В расчетной области, расположенной справа от снаряда, параметры течения равны параметрам в окружающей среде.

Численное решение задачи начинается с дискретизации расчетной области течения и исходных уравнений (11), (12). Расчетная область (рис. 4.10) разбивается на конечные целые числа i, j (номера в продольном x и радиальном r направлениях, соответственно) для ячейки, целые и полуцелые – для грани. Целое число для грани характеризует координатную поверхность, в которой находится данная грань. Для обозначения газодинамических параметров и геометрических характеристик, относящихся к ячейкам или граням, используется выбранная нумерация в качестве нижних индексов у соответствующих величин. Так как решение задачи осуществляется интегрированием исходных уравнений по времени, то дискретизация выполняется также по временной координате tn=tn-1, где n – порядковый номер временного интервала; τ – шаг интегрирования по времени.

Разностная сетка в продольном направлении строится таким образом, чтобы границы счетной области совпадали с соответствующими границами прилегающих к ним ячеек. Счетная область разбивается на Nx рядов с координатами узлов  xi, i=0,1,...,Nx . Все ячейки i-го ряда имеют одни и те же координаты центров ячеек xi+0,5=(xi+xi+1)/2, причем, x0 и xNx соответствуют левой (сечение AA') и правой (сечение BB') границам счетной области.

Аналогичное разбиение на Nx ячеек в ряду вводится и в радиальном направлении. Ячейки в продольном ряду имеют координаты узлов rj, j=0,1,...,Nr . Все ячейки j-го продольного ряда имеют одни и те же координаты центров ячеек xj+0,5=(xj+xj+1)/2. Координатная линия r=r0 совпадает с осью 0x, координатная линия r=rN принадлежит границе центральной камеры расширения, а координатная линия r=rNr1 , rNr1<rN – границам канала ствола, снарядного канала глушителя и боковой поверхности снаряда (см. рис. 4.10). Снаряд при движении перекрывает определенное количество ячеек.

Рис. 4.10. Расчетная область

Количество ячеек в радиальных рядах различно и зависит от положения снаряда в текущий момент времени в расчетной области. В каждом из радиальных рядов каналов ствола или снарядного канала глушителя содержится Nr1 ячеек с номерами j=0,1,...,Nr1, причем, ячейки с номером j=1 примыкают к оси 0x, с номером j=Nr1 примыкают к границам каналов ствола или снарядного канала глушителя. В центральной камере расширения в каждом из радиальных рядов, не перекрытых снарядом, содержится Nr ячеек с номерами j=0,1,...,Nr. В этих рядах ячейки с номером j=Nr примыкают к границе центральной камеры. Каждый частично перекрытый снарядом ряд будет состоять из Nr-Nr1 ячеек с номерами j=Nr1+1, Nr1+2, N соответственно. При этом ячейки с номером j=(Nr1+1), принадлежащие этим рядам, примыкают к боковой поверхности снаряда. Таким образом, в расчетной области при переходе от одного ряда ячеек к другому могут изменяться: количество ячеек в ряду и номера их граничных пар.

Пусть iL, iR – номера координатных линий радиальной переменной r, проходящих через левый и правый торцы снаряда, соответственно. Будем полагать, что при движении снаряда границы всех расчетных ячеек не меняются, за исключением ячеек, принадлежащих рядам с номерами iL, iL+1, iR-1, iR. Тогда в выделенных рядах ячеек будут меняться только общие вертикальные границы с номерами i, iR. Если при перемещении снаряда текущая координата его левого торца x_ удовлетворяет неравенству xiL≤x_<xiL+0,5 , то длина каждой ячейки в iL-м и в (iL+1)-м рядах в текущий момент времени определяется по формулам:

Если , то количество рядов ячеек в левой счетной подобласти увеличивается на один и длина каждой ячейки в добавленном ряду вычисляется по формуле . Аналогичная процедура используется и при определении количества рядов ячеек в правой счетной подобласти. Таким образом, при движении снаряда по счетной области происходит автоматическое изменение количества рядов ячеек в счетных подобластях.

Кроме того, все ячейки, за исключением ячеек, принадлежащих прилегающим к торцам снаряда рядам, имеют неизменные границы. Длина рядов ячеек с меняющимися границами Δx-, Δxудовлетворяет условию , где Δx – длина ячеек при равномерном распределении узлов.

Дискретизация исходных уравнений (11), (12) осуществляется на основе интегральных законов сохранения

 (15)

примененных к ячейке сетки с номером (i,j), центр которой находится в точке M(xi-0.5, rj-0.5). Интегралы в формуле (15) следует понимать как поверхностные интегралы второго типа, т.е. как интегралы по ориентированной поверхности.

Интегрирование нестационарных уравнений газовой динамики (11), (12), записанных в интегральной форме (15), осуществляется по конечно-разностной схеме Годунова [241] с учетом движения границ ячеек, прилегающих к торцам снаряда. При использовании схемы Годунова необходимо модифицировать стандартный алгоритм расчета параметров в ячейках рядов, в которых происходит изменение, как количества ячеек, так и номеров граничных ячеек.

В качестве примера рассмотрим первый ряд ячеек в центральной камере расширения. Выше было отмечено, что в предыдущем ряду (последнем ряду ячеек канала ствола) содержится Nr1 ячеек с номерами j=1,2,...,Nr1 . В первом ряду камеры расширения в момент времени, когда он не перекрыт снарядом, содержится  Nr ячеек с номерами j=1,2,...,N. При этом номера начальных граничных ячеек в рядах совпадают, а конечных отличаются. В рассматриваемом ряду при расчете параметров на левых гранях ячеек с номерами j=1,2,...,Nr1  используется стандартный алгоритм, основанный на реализации процедуры разрыва на совместных гранях ячеек, принадлежащих названным выше соседним рядам. Для ячеек рассматриваемого ряда с номерами j=Nr1+1, Nr1+2, ..., N соседних ячеек слева нет. Поэтому вводятся фиктивные ячейки, геометрические размеры которых совпадают с размерами соответствующих ячеек в рассматриваемом ряду, а параметры определяются из условия зеркального отражения. Это условие на прямолинейных участках границ позволяет удовлетворить граничному условию (14) автоматически. В результате введения фиктивных ячеек можно провести расчет параметров на левых гранях ячеек с номерами j=Nr1+1, Nr1+2, ..., N по стандартному алгоритму. Аналогичный подход используется и при расчете параметров в ячейках всех остальных рядов, в которых при переходе от предыдущего ряда к рассматриваемому последующему происходит изменение количества ячеек и (или) номеров граничных пар.

Среднеобъемные значения параметров в камерах определяются с учетом притока-оттока массы, импульса и энергии через открытые отверстия расширительных камер, соединяющие камеры со снарядным каналом глушителя. Скорость снаряда в текущий момент времени и его положение относительно ячеек расчетной сетки (координаты x-x+) определяются в результате интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (13) по схеме Эйлера второго порядка аппроксимации. Значение силы ΔP, обусловленной перепадом давления на левом и правом торцах снаряда, определяется в результате интегрирования силы давления по поверхностям торцов.

Рис. 4.11. Расчет обтекания цилиндра в трубе

Тестовые расчеты. По вышеприведенному алгоритму были проведены тестовые расчеты обтекания полубесконечного цилиндра сверхзвуковым потоком в цилиндрическом канале [242].

Тестовые расчеты моделируют условия прохождения снаряда в полсти глушителя и позволяют проверить корректность разработанной методики расчета характеристик газового потока. Задавались следующие значения определяющих параметров задачи: число Маха набегающего потока M=3, показатель адиабаты γ=1,4. Ось цилиндра совпадает с осью канала и плоскость переднего торца цилиндра перпендикулярна этой оси (см. рис. 4.11).

Вводится расчетная область, ограниченная сверху стенкой канала, а снизу его осью и поверхностью цилиндра. В качестве характерного размера выбирается радиус канала.

Расчеты показали следующее.

Перед торцом цилиндра формируется отошедший головной скачок, который взаимодействует со стенкой канала, отражается от нее и попадает на боковую поверхность цилиндра. Однородный сверхзвуковой поток набегает на цилиндр, тормозится до полной остановки на оси струи у торца цилиндра и ускоряется до сверхзвуковой скорости при обтекании угловой точки торца и вдоль боковой поверхности цилиндра. На некотором расстоянии вниз по потоку от торца цилиндра, когда между боковой поверхностью цилиндра и стенкой канала сформируется сверхзвуковой возмущенный поток, можно вводить границу расчетной области, на которой не задаются граничные условия. Так как головной скачок в процессе расчета не выделяется, то расчетная область перед цилиндром должна захватывать участок невозмущенного набегающего потока. При проведении тестовых расчетов рассматривается расчетная область длиной 3 калибра (диаметра канала), причем длина передней части области (перед цилиндром) равна 0,6 калибра.

Разработанный алгоритм и созданное программное обеспечение позволяют моделировать нестационарные и стационарные (методом установления по времени) двумерные течения в прямоугольных областях произвольной формы, содержащих любое количество внезапных расширений и сужений. При этом настройка на решение конкретной задачи осуществляется только заданием формы расчетной области. Сечения внезапных расширений или сужений проточной части выделяются специальным образом. Геометрически форма сложной области представляется в виде набора простых прямоугольных подобластей.

Основное достоинство разработанного алгоритма состоит в том, что численное решение двумерных задач в прямоугольных областях, содержащих скачкообразные расширения или сужения поперечного сечения, осуществляется в одной расчетной области. Количество ячеек расчетной сетки по нормали к оси канала перед цилиндром и за его передним срезом (над боковой поверхностью) отличается, т.е. используется расчетная область с переменным количеством узлов сетки в поперечном направлении. Граничные ячейки, прилегающие к поверхности цилиндра, явно не задаются, но идентифицируются исходными геометрическими параметрами, описывающими форму границ расчетной области.

Для дискретизации расчетной области использовалась равномерная сетка, содержащая 61 узел в продольном направлении и 21 узел – в поперечном.

Основное достоинство разработанного алгоритма состоит в том, что численное решение двумерных задач в прямоугольных областях, содержащих скачкообразные расширения или сужения поперечного сечения, осуществляется в одной расчетной области. Количество ячеек расчетной сетки по нормали к оси канала перед цилиндром и за его передним срезом (над боковой поверхностью) отличается, т.е. используется расчетная область с переменным количеством узлов сетки в поперечном направлении. Граничные ячейки, прилегающие к поверхности цилиндра, явно не задаются, но идентифицируются исходными геометрическими параметрами, описывающими форму границ расчетной области.

Для дискретизации расчетной области использовалась равномерная сетка, содержащая 61 узел в продольном направлении и 21 узел – в поперечном.

Рис. 4.12. Поля изобар в двухкамерном ресивере в различные моменты времени

В качестве модельной задачи расчета глушителя было рассмотрено нестационарное истечение из двухкамерного ресивера в окружающее пространство. Отношение давления в ресивере к давлению в окружающем пространстве равно 5. Характерные поля изобар, получаемые в различные моменты времени, приведены на рис. 4.12. Хорошо видна зона повышенного давления, возникающая в результате столкновения потока с перегородкой между первой и второй камерами. Приосевая сверхзвуковая струя формируется в окрестности оси канала после выхода на стационарный режим течения.

На рис. 4.13 приведены стацио¬нарные поля изолиний давления, числа Маха, плотности и поперечной составляющей скорости, которые иллюстрируют существование циркуляционных областей течения между поперечными перегородками. Эти области занимают большую часть поперечного сечения канала между внешней границей приосевой струи и продольной поверхностью канала.

Рис. 4.13. Стационарные поля изолиний в двуполостном ресивере